数学将来可能会合并 俞正光解析考研大纲

    俞正光：

    从考研上来说，考研已经进行了这么长时间了，每年的考题都有很多的相似之处，每年考点里最基本的基本概念和方法，基本上都覆盖。同学在充分复习的基础上，对于这些考研里遇到的，我们的这些题目的内容，包括题型都有了一定的了解，所以，他会感到拿到一套题以后挺熟悉的，做起来挺顺手的，挺会做。自我感觉是不错的，但是最后考分不是那么理想，这里我想主要是两个原因。一个原因是他对一些基本概念，虽然是知道了，但是对这些概念掌握的并不是很透，或者说掌握的不是那么正确。在应用上可能会产生一些错误的概念和方法。另外一个方面，虽然这个方法很基本，但是由于计算上不熟练，这个方法是不是你能够最后能不能给他做对了，这个就有一个疑问。所以我自己觉得，我会做了，我也能做了，但是不见得一定能做对。再有一些考研里，尤其像线性代数里，经常有这样的情况，一个题里有若干个参数，考察我们同学全面分析问题和解决问题的能力。对于这个参数，我们需要一个一个逐个进行分析，但是这方面的能力，我们的同学相对来说差一些。他不可能或者说不会很全面，很正确的按照这些参数来分析这个问题。有些题，自己觉得会做了，所以觉得挺有信心的，但实际上没有做对。或者说这个题解答题里有三个部分，只解答了其中的一个或者是两个。还有一种可能性，可能答案对了，考题里经常出现这种现象，他做题的这种方法，所用到的那些概念是错误的。这种情况下，他也不可能得到他应有的分数。从这些情况，可以这么说，我们同学在复习的时候，特别要注意基本概念，基本理论和基本方法。

    主持人：

    俞老师，您说到在复习中一定要注意基本知识的理解，但是怎么样能够检验自己对基本知识的理解呢？因为我们遇到很多考生都有这样的一个问题，觉得自己对于书上的概念几乎都能背下来，甚至也能记得住那些概念都在第几页，第几行，但是真正到考场上的时候，怎么能够验证自己是否对这个基本概念有所理解呢？我听您刚才讲的意思是说，对于基础概念的理解，可能是对于提高成绩，解决问题的最有效的保障。但是在考试之前，同学们在复习过程当中，怎么能够检验自己对基础知识的理解，达到一个什么样的程度？

    俞正光：

    我们说一个基本概念，你是不是理解它。不只是说你会不会背这个定义。定义只是和这个概念的初始表现，从数学上来说，是非常严格的。一个字一个字都是有所讲究的，你把它背下来了，只能说你知道了有这么一个概念，但是这个概念，究竟是一个什么样的概念，不完全只是从定义，逐个字抠一下解决的。一个概念应该从这么几个角度。一个角度是这个概念是怎么提出来的，他是怎么产生的，产生的背景是什么。比如说一些概念，你不要把它背定义可能都会背。但是背完了之后你是不是理解，知不知道这个概念到底是什么意思。所谓线性相关，我们说的是有一个向量组，或者是单个向量构成一个向量组，线性相关的概念是讨论这个向量组的一种性态，所谓整体的性态，我们知道，向量跟向量之间，有的向量跟向量之间，他们是有一定的线性联系。就是说，它可以用其他的向量表示出来。但是有的向量是不能由其他向量来进行表示的。如果说，整个的向量组里，如果向量跟向量之间，都不能线性表示，或者是没有一个向量能用其他的向量表示，那就意味着这些向量互相之间都是线性独立的。它的背景实际上是这些向量之间没有任何的线性依赖关系，另外一种是有线性依赖关系。所谓线性依赖关系是这个向量组里有一个向量能用其他向量表示，那就说明这个向量组里，向量和向量之间不是没有关系的。你把这个理解的话，你对向量组的线性相关，线性无关这个性质，就不是很枯燥的。

    第三个，你一个概念，光这样去理解，恐怕还是一个很抽象的概念。你不妨可以在二维的平面里，或者是三维空间里考。在二维平面里，两个向量如果不是平行的或者不是共线的，这两个向量互相之间是线性无关。如果在二维空间里，如果你有三个向量，你在纸面上随便画三个向量，这三个向量，如果两个向量不平行的话，第三个向量一定可以通过平行四边形法则把这三个向量联系在一起。也就是说，这个向量可以用那两个向量表示。你在理解一个概念的时候，除了会背定义之外，你还要有一些很形象的或者是一些几何上的或者是一些数量上的背景来支撑你对这个概念的理解。

    第三，我们对一个概念，还要除了研究它的内涵以外，还要研究它的外延，线性代数里头，概念和概念之间联系是非常紧密的。就是说，你对同样一个问题，我可以用线性相关，线性无关来理解。我也可以把这个问题转化为一个矩阵的质来理解。你还可以把同样一个问题转化为一个线性方程组的问题来理解。当你对同样一个问题，你用不同角度理解的时候，这个时候，你可能就会产生不同的思路，不同的方法。如果你在复习的时候，对一些题目，你都能做这种分解的话，慢慢的，你对整个问题，你就会有一种，不只是完全理论上的，遇到什么题就用什么方法，遇到什么题就用什么方法。你就会很灵活的知道遇到什么问题之后，通过什么途径，很快的能够拿下来。我们说的概念的理解，不完全只是背一下定义。背一下定义，这个不是很难的。但是你能不能正确理解，会不会正确的应用，说到概念，在复习里，你还要考虑一下，这个概念有什么用处，可以用来解决什么问题，在不同的问题里，这个概念又是用什么形式来表现。如果说你能够把这些方面都搞清楚的话，我想你到考试的时候，就不会有太大问题。

    主持人：

    俞老师，我了解您是清华大学数学系主要从事线性代数这方面的教学工作，从历年考题，包括结合今年考研大纲的变化，您能不能给我们考生大概说一说，今年的线性代数重点会在什么方面？今年的线性代数应该注意哪些特别的问题。

    俞正光：

    从线性代数来看，这几年考试的题目、题型，基本上都有很多相似的地方，因为线性代数一共是五个题，从线性代数的内容上来说，我们分六个章，有行列式，有矩阵，有向量，有方程组，还有二次性问题，一般来说是六章。但是线性代数的考题一共就五个题。它在这五个题里，要把这六个部分的内容基本上覆盖，我们考研，一个是考察基本概念，基本方法。另外一个是把考试大纲里的内容，大部分内容应该是得到覆盖。对你的知识面是一个全面的考察。从这几年的情况来看，基本上是两个解答题。解答题是综合应用各个部分的一些概念，一些基本知识，然后考察我们的分析问题，解决问题的能力。这几年基本上的分配大概是这样。一个大题，基本上是关于方程组或者是向量的线性表示，线性表示一转化就成了一个线性方程组的问题，你从向量的角度来看，实际上是向量的线性相关和线性无关的问题。一个大题基本上是覆盖了这样一块内容。另外一个大题基本上覆盖了线性代数里另外一个很重要的也是应用性很广的问题。特征质问题和二次型问题。二次型其实是一个二次齐次函数，二次型的问题实际上是讨论一个矩阵的问题。实际上，特征质问题里的矩阵的对角化问题。另外一个题，基本上它的覆盖面是特征质，这两个问题其实是联系在一起的。

    至于其他的一些基本概念，比如像线性相关，线性无关。像这种概念，一般来说，我们在考试里是非常重要的问题，在考试里一定会反映。这几年主要的形式是通过选择题的形式来加以考察。考察我们对这些基本概念的理解以及一些简单的逻辑推理。至于其他的，还有几个比较重要的，一个是矩阵的初等变换，这是比较重要。从方法论来讲，矩阵的初等变换是解决我们函数里的一系列的问题的基本方法。可以讨论向量组里的向量的线性关系，还可以算线性方程组问题，从方法论上来说，线性变化是非常重要的，这个我们在复习的时候一定要特别重视，而且一定要练习得比较熟练。初等变换不只是一种方法，不只是在方法上有很重要的意义，其实从理论上来说，揭示了矩阵的很重要的性质。我们从考试大纲可以看出来，考试大纲从最初的只要掌握初等变化方法来算矩阵，而变成了要理解初等变换这个概念以及它的性质。这几年考题里，比如像今年的考题里，数一，数二，数三，数四，这四个都有同样一道题，这道题就是一个矩阵经过初等变换以后，考察它的一些性质的一道题。我们不只是从方法上要理解它，而且要掌握关于的初等变换。像其他的求矩阵的值，也可能通过一些独立的小的题目出来，也可能会在一些综合的题里头考察。

    主持人：

    俞老师，有网友提问说，实际上我们数学的考试大纲一直都是分数一，数二，数三，数四，从今年大纲的变化来看，特别是在线性代数大纲的内容，数一，数二，数三，数四已经没有任何区别了。那是不是您可以在这里给我们同学做一个预测，将来我们数学的大纲数一，数二，数三，数四的差别会越来越小。

    俞正光：

    我们从今年的情况来看，比如像线性代数，数一，数二，数三，数四的内容和要求，基本上是一样的。比如像概率的话，数一、数三，数四也比较接近。现在还没有到像线性代数那么一致，但是也比较接近。这就反映了一个什么情况呢？数学作为我们学生，这是一种很基本的能力，我们主要是要来考察学生的数学的修养或者是数学的素质。所以我们在考试的内容上来说，慢慢的会趋向于越来越接近。另外从考题的情况来看，也是越来越共通。因为考察一个学生的能力，因为它不是一个数学竞赛，不是去选拔一些有特殊能力的人，而是考研是选拔我们将来要培养高级人才的，从这个角度来说。所以我们在考题上，考察大家的情况来说，最主要的还是通过一些基本概念和基本方法。看你这个基本概念是不是理解得很清楚。基本理论是不是理解得很透彻，在基本方法上，你是不是很熟练的来应用。而要考察这些方面，其实用不着出难题，我们可以看到这几年的考题里基本上没有什么难题。题目应该说比较容易，就像今年的考试一样，考生的反映，觉得这个题很容易，对自己很有信心。尽管它是很容易，但是我们可以知道，通过考试的情况，还是能够把考生的不同情况分离出来。因为考试是一个筛选的过程，要看你的基本概念掌握的是不是很熟练，运用的是不是很灵活，基本方法是不是掌握得很好。因为基本概念掌握好坏涉及到你对这道题，一个是用得对不对，第二，你是不是很灵活。可能是很简单的题，你可能做得很繁，也可能做得很简单。你用五分钟，十分钟，他可能用两分钟，三分钟就能做好。这样就能把同学之间不同的素质差异分出来。