考研教育网数学名师指导2006年复习

打好数学的基础

中国人民大学信息学院教授严守权

　　网友：希望几位老师，能够把今年各类试卷数学几门课程每门课程的复习重点说说。

　　严守权：我觉得复习的重点根据考试的趋势来看，难度特别是怪题不多，就是综合性串题。以往考试选择填空题比较少，而今年变大了。微积分一共74分，填空、选择占32分。第一是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习，选择填空题很重要。几大运算，一个是求极限运算，还有就是求导数，导数运算占了很大的比重，这是一个很重要的内容。当然，还有积分，基础还是要把基本积分类型基础搞清楚，定积分就是对称性应用。二重积分就是要分成两个累次积分。三大运算这是我们的基础，应该会算，算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。

　　另外，从问题来讲，处理的方法因为微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数，要把处理方法掌握好了，再结合具体题目做。

　　在这些基础上，还有一些考试基本题型，微积分的内容很多，面很多怎么办？微积分也更突出一点，题型也多，灵活度也大。有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在微积分总结了20个点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学模型。

　　还有中值定理，还有微分学的应用，比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。应用部分包括证明推断的内容。

　　简单概括一下就是三个基本函数要搞清楚，三大运算的基础要搞熟，概念点要看看参考书地都有系统的总结，哪些点在此就不一一列了。计算题、应用题、函数微分学延伸出的证明题都要搞熟。

　　主持人：接下来请胡老师对线性代数部分做一个介绍。

中国人民大学信息学院数学系教授胡显佑

　　胡显佑：根据大纲的要求，线性代数从大方面来说有这样几部分，第一部分是行列式；第二部分是矩阵；第三部分是向量；第四部分是线性方程组；第五部分是矩阵的特征值和特征向量，最后是二次型。其中二次型数一、数三要求，不管是数一、数二、数三、数四的线性代数围绕的是三个内容，第一是矩阵；第二是向量，第三是线性方程组，主要的试题是围绕这三个内容展开的。比如说矩阵，包含了矩阵的基本运算，逆矩阵、矩阵的秩，矩阵的特征值、特征向量，相似矩阵其中包括对角化，包括实对称矩阵的性质、还有二次型。实际上，矩阵这部分的内容，从内容上来说，贯穿了线性代数的整个课程，也是考试的重点。

　　另外一个比较大的内容是向量，这里面有向量间的线性关系，包括向量的相互表示、线性表出、向量组的线性相关和线性无关，向量组的值。如果我们把矩阵看作是如干个行向量和若干个列向量的组成关系，那么矩阵和向量又可以建立一定的联系。

　　第三个内容是线性方程组，主要包括线性方程组的有解的判定，包括其次和非其次线性方程组解的结构问题。

　　线性代数的考题大部分内容是围绕这三个主要的内容展开的，同时他们之间又有联系，又有综合，所以线性代数的考题体现出这样一个特点，就是综合性比较强、在一些题目里考核的知识点比较多，另外很多题目有一定的计算量。这就要求我们在整个复习过程中，要重视基本概念，重视基本定理，基本方法。同时也要会把这些定理、方法融会贯通。这样在使用大纲的时候，在大纲正式公布之后，希望同学们能够仔细阅读一下。关于概念，大纲里使用两种要求，一种是理解，一种是了解。如果某个概念，大纲里要求理解的，往往就是重点。对于计算方法和定理来说，一般采用两种说法，一种是掌握，一种是会。一般来讲用的是掌握词句，这一般是重点。但不要产生误解，“会”、“了解”就是不作为重点的了解，实际上一般这样就不会做试题。我觉得，还是前面两位老师所说的，复习一定要全面。线性代数里概念多、定理多，建议同学们要全面复习，不要抱有侥幸心理。

　　主持人：请姚老师对概率统计方面做一个全面的介绍。

　　姚孟臣：概率论与数理统计一共是八章，前五章是概率论，数学一、数学三、数学四都要考的。数理统计是后面三张，只有数学一、数学三要考的。作为前面五章的初等概率论，我简单介绍一下。第一章是随机事件和概率，它的重点内容主要是事件的关系和运算。作为另外两个重点，是全概公式和几何概型。第一章不单独命题，至少不单独命大题。

　　第二章是一维随机变量及其分布，这部分的重点内容是常见分布，它和第一章一样，也是基本概念多。但我个人认为，单独命题和单独命大题的可能性比较少。

　　第三章二维随机变量，重点内容是随机变量的独立性，第二是有关随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布之间的关系。第二章当中常见分布的重点在均匀分布，这方面是经常命题的。因此，作为这章来综合题相对多一些，我认为八章当中第一个重点考核章。

　　第四章随机变量的数字特征，这里面主要牵扯到一些重点的概念，如均值方差等，重点内容是讨论随机变量的相关性和独立性之间的关系。这也是重点章。每年必须考的一章。

　　第五章有三个内容，分别是切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。这不是重点章，考的机会也比较少，但至少把这三个概念要复习一下。

　　这是概率论的五章，重点章是三、四。

　　数理统计另外三章，那就是第六章基本概念、第七章参数估计、第八章是假设检验。重点是第七章参数估计。第六章的基本概念目前考得比较多的，可能和分位数有关。作为第七章的有三个内容，分别是点估计、区间估计和估计量的优良性。考得比较多的有关点估计的两种方法，分别是矩法和最大似然法。第八章考得比较少。在1998年数学仅考过一道题，后来就没有考过，所谓第八章不作为重点。还是要全面复习、重点突出。整个概率论可以说一句话，里面没有任何技巧，只要把基本概念、基本方法掌握住的话，肯定会把这部分题答好。但目前同学反映比较多的概率论和数理统计得分比较低，这是由于概率论和数理统计，与微积分、线性代数的学科特点不一样，它是一种不确定的数学，因此在复习的时候是把基本概念复习好，掌握最基本有关的方法，不要试图找一些技巧和解题的简单途径，那是没有可能的。所以，作为重点章，每年百分之百考，像三、四、七每年百分之考。作为数学一，有人反映数理统计是不是不作为重点，据我们统计，占概率统计总分的1/3左右，因此数理统计对数学一来说也是很重要的，数学三也是一样。

　　主持人：谢谢姚老师。