2018年国考行测《数量关系》之“隔板模型”

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　　排列组合问题一直以来是我们国考中的重点，通常联系实际，生动有趣，题型多样，思路灵活，不易掌握。而在本文中重点讲解排列组合中的错位重排模型，模型解法简单易懂，只要记住对应数字就能够快速解决这一问题。

　　本质:相同元素的不同分堆。公式:把 n 个相同元素分给 m 个不同的对象，每个对象至少 1 个元素，问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”，共有C n-1 m-1 种。

　　条件:这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下 3 个条件：

　　(1)所要分的元素必须完全相同;(2)所要分的元素必须分完，决不允许有剩余;(3)每个对象至少分到 1 个，决不允许出现分不到元素的对象。

　　例题展示：如10 个相同的小球，放入 4 个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。问有几种放法?10个球中间有9个空放入3个隔板(隔板是相同而不可以区分的)，那么就可以分成4堆了，故要求的方法数就是C93种。

　　以下通过两个例题来展示隔板模型的两个变形，如何进行公式的套用。

　　【变形1】n 个相同元素分成 m 份，每份至少多个元素。

　　将 8 个完全相同的球放到 3 个编号分别为 1、2、3 的盒子中，要求每个盒子中放的球数不少于自身的编号，则一共有多少种方法?

　　A.4 B.5 C.6 D.7

　　【答案】C

　　【解析】此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，而都是至少多个的，因此首先需要做的是转化成把 n 个相同元素分成 m 份，每份至少 1 个元素，问有多少种不同分法的问题。故分两步进行，第一步先给 2 号盒子 1 个球，3 号盒子 2 个球，因为球一样，故给法只有1种;第二步，此时剩下 5 个球，只需要“每个盒子至少放一个球”即可，应用隔板法，方法数为C42 =6，则总的个数为1×6=6种。

　　【变形2】n 个相同元素分成 m 份，随意分。

　　王老师要将20个一模一样的笔记本分给3个不同的学生， 允许有学生没有拿到， 但必须放完，有多少种不同的方法?

　　A.190 B.231 C.680 D.1140

　　【答案】B。

　　【解析】这道题中说每个盒子可以为空，即至少0个，不能直接用隔板法来做，因此首先需要做的是转化成把 n 个相同元素分成 m 份，每份至少 1 个元素，问有多少种不同分法的问题。故分两步进行，第一步先每个人借3个相同的本子，因为球一样，故给法只有1种;第二步，即此题变为将 23 个相同的书全放入 3 个人，每个人至少一个球，此时就可以用隔板法了，则有C222=231 种，则总的个数为1×231=231种。

　　备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用。要破解隔板模型的排列组合题，关键就是在于理解题目含义，找到题干的变形条件进行适当转化，从而与标准模型对应起来，从而根据公式快速求解!

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