一.定义
插板法就是在n个元素间的(n-1)个空中插入 若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+1)组的方法。
应用插板法必须满足三个条件:
(1) 这n个元素必须互不相异
(2) 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明:
把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?
问题的题干满足条件(1)(2),则适用插板法,C(9,2)=36。
二.应用
1、凑元素插板法 (满足条件(1),不满足条件(2)时可适用此方法)
例1 :把10个相同的小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?
【解析】3个箱子都可能取到空球,条件(2)不满足,此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球,则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况呢,利用插板法可得:C(12,2)=66。
例2:把10个相同小球放入3个不同箱子,第一个箱子至少1个,第二个箱子至少3个,第三个箱子可以放空球,有几种情况?
【解析】我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个,小球剩8个放3个箱子,然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球,则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子,每箱至少1个,几种方法? C(8,2)=28。
2、添板插板法
例3:把10个相同小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?
【解析】
-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o -
(o表示10个小球,-表示空位)
11个空位中取2个加入2块板,第一组和第三组可以取到空的情况,第2组始终不能取空,此时 若在 第11个空位后加入第12块板,设取到该板时,第二组取球为空
则每一组都可能取球为空,利用插板法则c(12,2)=66。
相信考生们快速掌握此方法,并能快速运用到解决排列组合题当中,经过反复训练后一定可以将这类题目的分数拿到手。
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