2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(28)

　　5.“拆”、“并”和通分

　　下面重点介绍分式的变形：

　　(1) 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.

　　例8(第1届国际数学竞赛试题)证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,

　　证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.

　　而

　　显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.

　　(2) 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.

　　例9 设n为正整数，求证：

　　① ②

　　证明 令

　　通分，

　　比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.

　　∴

　　令k=1,2,…,n得

　　(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.

　　例10(1986年冬令营赛前训练题)

　　已知

　　求证:.

　　证明

　　6.其他变形

　　例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算(可用括号)，经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.

　　解 x2=x(x+1)-x

　　或 x2=x(x-1)+x

　　例12 (第3届美国中学生数学竞赛题)设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.

　　解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故

　　19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)

　　解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757

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