2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(28)

-代数式的变形(整式与分式)

　　在化简、求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.

　　1. 配方

　　在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.

　　例1 (1986年全国初中竞赛题)设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.

　　解mn=(a2+b2)(c2+d2)

　　=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd

　　=(ac+bd)2+(ad-bc)2

　　=(ac-bd)2+(ad+bc)2,

　　所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或(ac-bd)2+(ad+bc)2.

　　例2(1984年重庆初中竞赛题)设x、y、z为实数，且

　　(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2

　　=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.

　　求的值.

　　解 将条件化简成

　　2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0

　　∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0

　　∴x=y=z,∴原式=1.

　　2.因式分解

　　前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.

　　例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求

　　的值.

　　解 ∵a为x2-3x+1=0的根,

　　∴ a2-3a+1=0,,且=1.

　　原式

　　说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.

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