2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(31)

　　练习二十七

　　1. 两个既约分数的和与积能否同时为整数?

　　2. 设a，b，c，m，n，p均为实数，且满足aq-2bn+cm=0与b2-ac<0.求证mp-n2≤0.

　　3. 求素数p，使p+10，p+14仍为素数.

　　4. 证明2× 是两相邻整数之积.

　　5. 已知xi≥0(i=1，2，…，n)且x1+x2+…+xn=1.求证1≤ ≤ 6. a、b、c、d都是正整数.证明：存在这样的三角形，它的三边等于 ， ，并计算三角形的面积.

　　7. 证明闵可夫斯基不等式:对任意2n个正数x1,x2,x3,…，xn;y1，y2，y3，…，yn，恒有

　　≥ 8. 以三个不同的非零数字(十进位)组成的三位数，除以这三个数字之和.所得商的最小值是多少?

　　9. (1987年北京初二数学竞赛题)一直线从左到右顺次排列着1897个点：p1，p2，…，p1987，已知pk点是线段pk-1pk+1的k等分点当中最靠近pk+1的那个分点(2≤k≤1986).例如，p5点就线段p4p6的五等分点中最靠近p6的那个点.如果线段p1p2的长度是1,线段p1986p1987的长度为l.求证:

　　练习二十七

　　1.构造一元二次方程.

　　2.构造一元二次方程apx2-2bnx+cm=0.由题设知方程有实根x=1，故△=(-2bn)2-4·ap·cm≥0

　　3.取p=2，3，5，7，11，13，17作试验，由此猜测：仅p=3有解.然后就p=3k+1和p=3k+2.证明p+10，p+14不是素数.

　　4.取n=1，2试验，猜想： 5.联想特殊情况：若x1+x2=1，x1，x2≥0则 并给出证明：

　　类比得到一般情况的证明：

　　6.以a+b，c+d为边画一个矩形(如图).

　　此处无图

　　7.如图，给出了n=5的情形.

　　8.设三位数为 ，所述为 记 要p最小，只需p′最小，观察得x=1，z-9，y=8.∴p= 9.p2应为p1p3的二等分点，∴p1p2=p2p3=1.p3应为p­2p4的三等分点中最靠近p4的那一点，∴p3p4= p2p3= .一般地，pk是pk-1pk+1中的k等分点中最靠近pk+1的那一点，有pkpk+1= =

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