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-类比与联想
1. 类比
已知甲问题与乙问题有某些类似之处,猜想乙问题的某个结论或某种解法也适合甲问题,从而将这个结论移植给甲问题或用类似方法解决甲问题,这种解决问题的思维形式叫做类比推理.类比只是一种猜测,是否可行还要靠逻辑推理来解决.
例1 如图27-1,一直线l交四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA或其延长线于E、F、G、H,则有
分析 此例中条件和结论都类似于梅氏定理,由此考虑将梅氏定理的证明方法施于此例.连BD交l于点O,在△ABD和△BCD中,分别使用梅氏定理可得
两式相乘即得所证结论.
例2 (第3届国际中学生数学竞赛题)如图27-2,P为△ABC内任意一点.直线AP、BP、CP交BC,CA,AB于Q、R、S.求证 、 、 三者之中,至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2.
分析 例2条件与下述熟悉的命题条件一样:
“P为△ABC内任意一点.直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于Q、R、S.求证: ”
这说明可将这个命题的结论用于例2,由 知 中至少有一个不大于 ,不妨设 ≤ 即3PQ≤AQ.
而AQ=AP+AQ,
∴AP≥2PQ,
∴ ≥2,即 不小于2.
同理可证三式中至少有一个不大于2.
2. 联想
由前面的例题的解决,我们看到类比是与联想交织在一起的.事实上不论用什么方法解决问题都少不了运用“联想”.根据问题之间的相似性、接近性、对比性进行由此及彼的联想,从而将某个已知的结论和方法的全部或部分移植给所研究的新问题是解决问题的一种基本思想方法.
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