2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(34)

　　3.二元一次不定方程

　　我们把形如ax+by=c(ab≠0)的方程叫做二元一次不定方程，在这里我们只研究方程系数a，b，c为整数的情况(以下不再作说明).关于二元一次不定方程的整数解，有下面的简单定理.

　　定理1 若a，b的最大公约数d不能整除c，则方程ax+by=c没有整数解.

　　以下约定记号(a，b)=1表示整数a，b互质.

　　定理2对于方程ax+by=c，(a，b)=1如果(x0，y0)是方程的一组整数解，那么

　　(t为整数)

　　是方程的全部整数解.

　　我们不证明这两个定理，定理的证明完全可以仿照下面例题的解答给出.

　　例9x,y是满足条件2x+3y=a的整数(a是整数)，证明必存在一整数b，使x，y能表示为x=-a+3b，y=a-2b的形式.

　　证明：∵2x+3y=a

　　，

　　∵ x，y是整数.

　　∴ 令 ，则y=a-2b.

　　这时， ，

　　2x+3y=2(3b-a)+3(a-2b)

　　=6b-2a+3a-6b=a

　　这说明整数b能使x=-a+3b，y=a-2b满足方程2x+3y=a.

　　上面证明中用到的辗转相除法实际上是解二元一次不定方程常用的方法.

　　例10求37x+41y=1的一组整数解.

　　解 37x+41y=1 即

　　为整数，这时x=+9+1=10，故x=10，y=-9是方程的一组整数解.

　　说明：本题只要求求出一组整数解，依定理2这个方程的全部整数解为：

　　(t为参数)

　　例11 小张和他的朋友小王两人都有工作，小张每工作八天后休息一天，小王每工作五天后休息一天，小张今天休息，小王明天休息，问他们哪天(如果有这一天的话)一同休息?

　　解 出题设知小张工作周期是9天，小王工作周期是6天.如果他们在某天一同休息，则可设小张已工作了x周，小王已工作了y周，据题意列方程：

　　9x-6y =1.

　　显然 31(9x-6y)，3 1，所以方程无整数解，

　　故小张和小王不可能同一天休息.

　　例12 (中国古代数学问题)百钱买百鸡，公鸡每只值5钱，母鸡每只值3钱，雏鸡每三只值1钱，问公、母、雏鸡各买了几只?

　　解设买公、母、雏鸡的数目分别为x、y、z只，则

　　①

　　②

　　②×3-①并化简得

　　7x+4y=100 ③

　　由于(-1，2)是方程7x+4y=1的一组解，所以(-100，200)是方程③的一组解，因此通解为:

　　∴ t=25，26，27，28，故公、母、雏鸡的数量分别为(0，25，79)，或(4，18，78)或(8，11，81)或(12，4，84).

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