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2011年中招考试:《初中数学》竞赛讲座(34)

来源:考试吧(Exam8.com) 2011-3-3 8:57:15 要考试,上考试吧! 万题库
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一次方程与一次不等式

  1.一次方程(组)

  一次方程(组)是最简单的方程,是进一步研究函数、方程、不等式等的基础,先看一个含字母系数的一元一次方程的讨论.

  例1(第36届美国中学数学竞赛题)设a,a'b,b'是实数,且a和a'不为零,当且仅当( )时,ax+b=0的解小于a'x+b'=0的解.

  (A)a'b

  (D) (E) 解 ∵a≠0,∴ax+b=0的解是 ,

  ∵a'≠0,∴a'x+b'=0的解是 ,

  根据题意得 .

  故应选(E).

  例2 (第4届美国数学邀请赛试题)若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组:

  ①

  ②③④⑤

  确定3x4+2x5的值.

  解 将已知的五个方程加起来,然后,把所得方程的两边除以6得

  x1+x2+x3+x4+x5=31, (*)

  由第4、第5个方程分别减去方程(*),得

  x4=17, x5=65,

  ∴ 3x4+2x5=181

  说明,上面解答所提供的用31代换x1+x2+x3+x4+x5的整体代换方法是一种重要的解题策略.

  例3(1982年天津初中数学竞赛题)已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解,你能求出这个公共解,并证明对任何a值它都能使方程成立吗?

  分析 依题意,即要证明存在一组与a无关的x,y的值,使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立,令a取两个特殊值(如a=1或a=-2),可得两个方程,解由这两个方程构成的方程组得到一组解,再代入原方程验证,如满足方程则命题获证,

  我们也可以这样想:将原方程整理成为形如

  a(x+y-2)+(-x+2y+5)=0

  将原方程转化为关于字母a的一元一次方程,由题知该方程对a取任意值成立必须且只须

  x+y-2=0,同时-x+2y+5=0.

  联立以上两方程易得原方程的解.

  以上所提出的两种解法将在本书的其它部分有更详细的讲述.

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文章责编:魏超杰