2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(17)

　　5.归纳、猜想和证明

　　在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法.

　　例题分析

　　例1.用数学归纳法证明：

　　( )

　　例2.已知对任意 ， ， 且 ，求证： .

　　例3.如果正整数 不是6的倍数，则 不是7的倍数.

　　例4.设 都是正数，证明 .

　　例5.已知函数 的定义域为 ，对于区间 内的任意两数 均有 .求证：对于任意 ，均有

　　.

　　例6试证：对一切大于等于1的自然数 都有

　　.

　　例7试证：对一切自然数 ( )都有 .

　　例8.证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形.

　　例9.设 ， ， ，求证：对一切 均有 例10.已知 ， ，求证：对一切 ， 都是整数.

　　例11.设 ，是否存在关于正整数 的函数 使等式 对于 的一切自然数都成立?并证明你的结论.

　　例12.设整数数列 满足 ， ， ，且 .证明：任意正整数 ， 是一个整数的平方.

　　例13.设 为正数( )，证明： .

　　例14.已知 ， ( )，求证： .

　　例15.整数列 ( )满足 ，且有 .求证： 时， 是奇数.

　　训练题

　　1.证明 时， 能被31整除.

　　2.设 不小于6的自然数，证明：可以将一个正三角形分成 个较小的正三角形.

　　3.用数学归纳法证明： 4.设 为自然数，求证： .

　　5.对于自然数 ( )，求证： .

　　6.已知 ， ，求证：对于一切 ， 是整数.

　　7.设有 个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲戴盆望天的球数 不小于乙堆的球数 ，则从甲堆拿 个球放堆乙堆，这样算是挪动一次.证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆.

　　8.已知数列 满足： ， ， ( )，试证： .

　　2011年中考数学备考辅导：选择题精选汇总

　　名师解读南京2011年中考数学命题趋势