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2011年中招考试:《初中数学》竞赛讲座(17)

来源:考试吧(Exam8.com) 2011-2-23 11:35:02 要考试,上考试吧! 万题库
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竞赛讲座17

  -数学归纳法

  基础知识

  数学归纳法是用于证明与正整数 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学竞赛中占有很重要的地位.

  1.数学归纳法的基本形式

  (1)第一数学归纳法

  设 是一个与正整数有关的命题,如果

  ①当 ( )时, 成立;

  ②假设 成立,由此推得 时, 也成立,那么,根据①②对一切正整数 时, 成立.

  (2)第二数学归纳法

  设 是一个与正整数有关的命题,如果

  ①当 ( )时, 成立;

  ②假设 成立,由此推得 时, 也成立,那么,根据①②对一切正整数 时, 成立.

  2.数学归纳法的其他形式

  (1)跳跃数学归纳法

  ①当 时, 成立,

  ②假设 时 成立,由此推得 时, 也成立,那么,根据①②对一切正整数 时, 成立.

  (2)反向数学归纳法

  设 是一个与正整数有关的命题,如果

  ① 对无限多个正整数 成立;

  ②假设 时,命题 成立,则当 时命题 也成立,那么根据①②对一切正整数 时, 成立.

  3.应用数学归纳法的技巧

  (1)起点前移:有些命题对一切大于等于1的正整数正整数 都成立,但命题本身对 也成立,而且验证起来比验证 时容易,因此用验证 成立代替验证 ,同理,其他起点也可以前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步,有意前移起点.

  (2)起点增多:有些命题在由 向 跨进时,需要经其他特殊情形作为基础,此时往往需要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点.

  (3)加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难,适当可以改变跨度,但注意起点也应相应增多.

  (4)选择合适的假设方式:归纳假设为一定要拘泥于“假设 时命题成立”不可,需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用.

  (5)变换命题:有些命题在用数学归纳证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明.

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文章责编:魏超杰