2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(13)

　　二、三角恒等变换

　　众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。

　　【例1】(1)已知cosβ= - ，sin(α+β)= ，且0<α< <β<π，求sinα的值。

　　(2)已知sin( -α)= ，求 的值。

　　提示：(1)sinα= 。

　　(2)sin2α=1-2 sin2( -α)= ; = 。

　　【说明】三角变换重在角的变换。

　　【例2】求cos cos cos …cos 的值。

　　解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ= ，得

　　cos cos cos cos = - ，∴cos cos cos cos = 。

　　又cos cos = ，cos = ，

　　∴cos cos cos …cos = × × = 。

　　解法2：cos cos cos …cos = · · · ··· · = = 。

　　解法3：利用公式cosαcos( +α)cos( -α)= cos3α，取α= 、 。

　　【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。

　　解：由倍角公式得

　　cos4θ=( )2= (1+2cos2θ+cos22θ)= + cos2θ+ cos4θ，

　　∴cos420°+cos440°+cos480°= ×3+ (cos40°+ cos80°+ cos160°)

　　+ (cos80°+ cos160°+ cos320°)= + (cos40°+ cos80°+ cos160°)

　　= + (2cos60° cos20°- cos20°)= 。

　　【例4】若sinα+cosβ= ，cosα+sinβ= ，求sinαcosβ的值。

　　解：令θ= -β，则 (1)÷(2)得tg = ， cos(α+θ)= ，

　　∴sinαcosβ=sinαsinθ= - [ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = - 。

　　【例5】已知f(x)= sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0<θ<π，求θ。

　　解法一：由偶函数的定义，可得( cosθ+sinθ)sinx=0对任意x∈R成立。

　　∴ cosθ+sinθ=0，2 sin(θ+ )=0，

　　∴θ+=kπ，而0<θ<π，∴θ= 。

　　解法二：由f(- )=f( )，得θ= ，然后验证f(x)是偶函数。

　　【例7】方程sinx+ cosx+a=0在(0，2π)内有相异两根α、β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。

　　解：∵sinx+ cosx+a=0，∴sin (x+ )= - 。

　　令t= x+ ，则t∈( ， )，sint= - 。

　　作出函数y= sint，t∈( , )的图象：

　　由图象可以看出：当-1< - <1且- ≠ 即-2

　　当-2

　　当-

　　【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。

　　解：由已知得， (1)2+(2)2得cos(x-y)= - ，

　　同理，cos(y-z)= - ，cos(z-x)= - 。

　　∴x，y，z中任意两角的终边夹角为 ，不妨设

　　x=y+ +2mπ,m∈Z，y=z+ +2nπ,n∈Z，

　　∴x= z+ +2(m+n)π，

　　x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π，

　　∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz

　　= tg3z+tg(z+ )tg(z+ )tgz

　　= tg3z+tg(z+ )tg(z- )tgz

　　= tg3z+ tgz tg( +z)tg( -z)

　　=0。

　　【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便：

　　sinαsin( +α)sin( -α)= sin3α，

　　cosαcos( +α)cos( -α)= cos3α，

　　tgαtg( +α)tg( -α)=tg3α。

　　如sin10°sin50°sin70°= sin(3×10°)= 。

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