2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(13)

竞赛讲座13

　　-平面三角

　　三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一.

　　一、三角函数的性质及应用

　　三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用.

　　【例1】　求函数y=2sin( -2x)的单调增区间。

　　解：y=2sin( -2x)= 2sin(2x+ )。

　　由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

　　得kπ- ≤x≤kπ- ，k∈Z。

　　即原函数的单调增区间为：[kπ- ，kπ- ](k∈Z)。

　　【例2】　 若φ∈(0， )，比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。

　　解：∵在(0， )中，sinx

　　∵在(0， )中，y=cosx单调递减，∴cosφ< cos(sinφ)。

　　∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

　　【例3】　 已知x,y∈[- ， ]，a∈R，且 。求cos(x+2y)的值。

　　解：原方程组化为 。

　　∵x,-2y∈[- ， ]，函数f(t)=t3+sint在[- ， ]上单调递增，且f(x)=f(-2y)

　　∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。

　　【例4】　求证：在区间(0， )内存在唯一的两个数c、d(c

　　证明：考虑函数f(x)=cos(sinx)-x，在区间[0， ]内是单调递减的，并且连续，由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0，f( )=cos(sin )- = cos 1- <0，

　　∴存在唯一的d∈(0， )，使f(d)=0，即cos(sind)= d.

　　对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind))=sin d，sin(cosc)=c。

　　显然c∈(0， )。且由y=sinx在(0， )上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。

　　故存在唯一的c

　　【例5】 α、β、γ∈(0， )，且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。

　　解：∵α、β、γ∈(0， )，∴ctgβ>0，0< sinγ<γ< 。

　　∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ。

　　作出函数y=ctgx在(0， )上的图象，可看出：β<α<γ。

　　【例6】　 n∈N，n≥2，求证：cos ·cos · ··· ·cos > 。

　　证明：∵0< < <···< < <1，

　　∴01- = ，k=2，3，…，n。

　　∴(cos ·cos · ··· ·cos )2>( · )·( · )·( · )···( · )

　　= · > >( )2，

　　∴cos ·cos · ··· ·cos > 。

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