2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(2)

　　练习参考答案

　　1.B.B.A

　　2.(1)25·55.(2)27.

　　3.由2000a为一整数平方可推出a=5.

　　4.反证法.若是121的倍数，设n2+2n+12=121k (n+1)2=11(11k-1).∵11是素数且除尽(+1)2，

　　∴11除尽n+1 112除尽(n+1)2或11|11k-1，不可能.

　　5.由 是d的111倍， 可能是198，309，420，531，642，753;又 是18的倍数，∴ 只能是198.而198+246=444，∴d=4， 是1984.

　　7.(1)11n+2+122n+1=121×11n+12×144n=121×11n+12×11n-12×11n+12×144n=…=133×11n+12×(144n-11n).第一项可被133整除.又144-11|144n-11n，∴133|11n+2+122n+1.

　　(2)11改为a.12改为a+1，133改为a(a+1)+1.改动后命题为a(a+1)+1|an+2+(a+1)2n+1，可仿上证明.

　　8.∵a3b-ab3=ab(a2-b2);同理有b(b2-c2);ca(c2-a2).若a

　　、b、c中有偶数或均为奇数，以上三数总能被2整除.又∵在a、b、c中若有一个是5的倍数，则题中结论必成立.若均不能被5整除，则a2，b2，c2个位数只能是1，4，6，9，从而a2-b2，b2-c2，c2-a2的个位数是从1，4，6，9中，任取三个两两之差，其中必有0或±5，故题中三式表示的数至少有一个被5整除，又2、5互质.

　　9.设100个正整数为a1，a2，…，a100，最大公约数为d，并令

　　则a1+a­2+…+a100=d(a1′+a2′+…+a′100)=101101=101×1001，故知a1′，a2′，a′100不可能都是1，从而a′1+a′2+…+a′100≥1×99+2=101，d≤1001;若取a1=a2=a99=1001，a100=2002，则满足a1+a2+…+a100=1001×101=101101，且d=1001，故d的最大可能值为1001

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