2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(2)

竞赛讲座02

　　-整数的整除性

　　1. 整数的整除性的有关概念、性质

　　(1) 整除的定义：对于两个整数a、d(d≠0)，若存在一个整数p，使得 成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。

　　若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。

　　(2) 性质

　　1) 若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am

　　2) 若a|b，b|a，则|a|=|b|;

　　3) 若b|a，c|b，则c|a

　　4) 若b|ac，而(a，b)=1((a，b)=1表示a、b互质，则b|c;

　　5) 若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c;

　　6) 若c|a，c|b，则c|(ma+nb)，其中m、n为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)

　　例1 (1987年北京初二数学竞赛题)x，y，z均为整数，若11|(7x+2y-5z)，求证：11|(3x-7y+12z)。

　　证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)

　　而 11|11(3x-2y+3z),

　　且 11|(7x+2y-5z),

　　∴ 11|4(3x-7y+12z)

　　又 (11,4)=1

　　∴ 11|(3x-7y+12z).

　　2.整除性问题的证明方法

　　(1) 利用数的整除性特征(见第二讲)

　　例2(1980年加拿大竞赛题)设72| 的值。

　　解72=8×9，且(8，9)=1，所以只需讨论8、9都整除 的值。

　　若8| ，则8| ，由除法可得b=2。

　　若9| ，则9|(a+6+7+9+2)，得a=3。

　　(2)利用连续整数之积的性质

　　① 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。

　　② 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。

　　这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

　　例3(1956年北京竞赛题)证明： 对任何整数n都为整数，且用3除时余2。

　　证明 ∵ 为连续二整数的积,必可被2整除.

　　∴ 对任何整数n均为整数,

　　∵ 为整数,即原式为整数.

　　又∵ ，

　　2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，

　　∴ 是能被3整除的整数.

　　故 被3除时余2.

　　例4 一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.

　　证明 ∵a2+23=(a2-1)+24，只需证a2-1可以被24整除即可.

　　∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),

　　则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).

　　∵k、k+1为二个连续整数，故k(k+1)必能被2整除，

　　∴8|4k(k+1)，即8|(a2-1).

　　又∵(a-1)，a，(a+1)为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，

　　∵3 a，∴3|(a2-1).3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.

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