2019初中数学奥赛题及答案

　　2019初中数学奥赛题及答案

　　一、选择题

　　1.数1是 ( )

　　A.最小整数

　　B.最小正数

　　C.最小自然数

　　D.最小有理数

   　 答案：C

　　解析：整数无最小数，排除A;正数无最小数，排除B;有理数无最小数，排除D。1是最小自然数，正确，故选C。

　　2.a为有理数，则一定成立的关系式是 ( )

　　A.7a>a

　　B.7+a>a

　　C.7+a>7

　　D.|a|≥7

　　答案：B

　　解析：若a=0，7×0=0排除A;7+0=7排除C;|0|<7排除D，事实上因为7>0，必有7+a>0+a=a.选B。

　　3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是 ( )

　　A.6.1632

　　B.6.2832

　　C.6.5132

　　D.5.3692

　　答案：B

　　解析：3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)

　　=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416

　　=6.2832，选B。

　　4.在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )

　　A.225

　　B.0.15

　　C.0.0001

　　D.1

　　答案：B

　　解析：-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)×(-15)=0.15，选B。

　　二、填空题

　　1.计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。

　　答案：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1) =-1 。

　　2.求值：(-1991)-|3-|-31||=______。

　　答案：(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。

　　3.n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。则n的最小值等于______。

　　答案：4

　　解析：1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字.即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小值为4。

　　4.不超过(-1.7)²的最大整数是______。

　　答案：2

　　解析：(-1.7)²=2.89，不超过2.89的最大整数为2。

　　5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______。

　　答案：29

　　解析：个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是质数。

　　三、解答题

　　1.已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x+2000的值。

　　答案：原式

　　=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1+3×1-2x+2000=2003。

　　2.某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润?最大利润是多少元?

　　答案：原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4+x)元，但每天卖出为(100-10x)件。

　　如果设每天获利为y元，

　　则y =(4+x)(100-10x)

　　=400+100x-40x-10x2

　　=-10(x2-6x+9)+90+400

　　=-10(x-3)2+490。

　　所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大为490元。

　　3.如图1-96所示，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1+∠2=90°。求证：DA⊥AB。

　　证明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°，

　　∴∠ADC+∠BCD=180°，

　　∴ AD∥BC。

　　又∵　 AB⊥BC，

　　∴AB⊥AD。

　　4.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解。

　　答案：|x||y|-2|x|+|y|=4，即 |x|(|y|-2)+(|y|-2)=2，

　　所以(|x|+1)(|y|-2)=2。

　　因为|x|+1>0，且x，y都是整数，所以

　　5.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少?(一年期定期储蓄年利率为5.22%)

　　答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则

　　因为　y=35000-x，

　　所以 x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，

　　所以 1.3433x+48755-1.393x=47761，

　　所以 0.0497x=994，

　　所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。

　　6. 对k，m的哪些值，方程组至少有一组解?

　　答案：因为 (k-1)x=m-4， ①

　　m为一切实数时，方程组有唯一解.当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。

　　当k=1，m≠4时，①无解。

　　所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解。

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