2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(24)

　　2. 韦达定理的应用

　　例7 (1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题)假设x1、x2是方程x2-(a+d)x+ad-bc=0的根.证明这时是方程的根.

　　证明 由已知条件得

　　∴

　　=a3+d3+3abc+3bcd，

　　由韦达定理逆定理可知，、是方程

　　的根.

　　例8已知两个系数都是正数的方程

　　a1x2+b1x+c1=0， ①

　　a2x2+b2x+c2=0， ②

　　都有两个实数根，求证：

　　(1) 这两个实数根都是负值;

　　(2) 方程 a1a2x2+b1b2x+c1c2=0 ③

　　③也有两个负根.

　　证明 ∵方程①有两个实数根，∴>0. ④

　　同理>0. ⑤

　　又a1、b1、c1都是正数，∴>0，<0.

　　由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.

　　显然a1c1<4a1c1代入④，得>0， ⑥

　　由>0，得> ⑦

　　∴△

　　=

　　≥

　　=>0，

　　∴方程③也有两个实数根.

　　又a1a2>0，b1b2>0，c1c2>0，

　　∴>0，

　　<0.

　　由此可知方程③的两个根也是负值.

　　例9(1983年上海初中数学竞赛题)对自然数n，作x的二次方程x2+(2n+1)x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：

　　+

　　解 由韦达定理得

　　=

　　而

　　=(n≥3)，

　　∴原式=

　　+

　　=

　　例10(1989年全国初中联赛试题)首项不相等的两个二次方程

　　(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0 ①

　　及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 ②

　　(其中a，b为正整数)有一公共根，求的值.

　　解 由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得

　　③

　　及 ④

　　所以a，b是关于t的方程

　　相异的两根，因此

　　于是 ab-(a+b)=2，即(a-1)(b-1)=3.

　　由 或

　　解得 或

　　∴

　　例11 (仿1986年全国高中联赛题)设实数a，b，c满足

　　①②

　　求证:1≤a≤9.

　　证明 由①得bc=a2-8a+7.

　　①-②得 b+c=

　　所以实数b，c可看成一元二次方程

　　的两根，则有△≥0，即

　　≥0，

　　即(a-1)(a-9)≤0，∴1≤a≤9.

　　例12 (1933年福建初中数学竞赛题)求证：对任一矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k(k≥1).

　　分析 设矩形A及B的长度分别是a，b及x，y，为证明满足条件的矩形B存在，只须证明方程组

　　(k，a，b为已知数)

　　有正整数解即可.

　　再由韦达定理，其解x，y可以看作是二次方程

　　z2-k(a+b)z+kab=0的两根.

　　∵k≥1，故判别式

　　△ =k2(a+b)2-4kab

　　≥k2(a+b)2-4k2ab

　　=k2(a-b)2≥0，

　　∴上述二次方程有两实根z1，z2.

　　又z1+z2=k(a+b)>0，z1z2=kab>0，

　　从而，z1>0，z2>0，即方程组恒有x>0，y>0的解，所以矩形B总是存在的.

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