学好线代的最关键要点在于“见一反三”，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考，会有助于更进一步把握好线代的知识体系。

　　1、任何一个向量α=(a1，a2，。。。，an)都能由单位向量ε1=(1，0，。。。，0)、ε2=(0，1，。。。，0)、……、εn=(0，0，。。。，1)线性表出，且表示方式唯一。

　　2、向量组α1，α2，…，αn中任一个向量αi可以由这个向量组线性表出。

　　3、判断下列说法正确性：(1)“向量组α1，α2，…，αn，如果有全为零的数k1，k2，。。。，kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，则α1，α2，…，αn线性无关。”(2)“如果有一组不全为零的数k1，k2，。。。，kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0，则α1，α2，…，αn线性无关。”(3)“若向量组α1，α2，…，αn(n≥2)线性相关，则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。”

　　4、三维空间中的任意4个向量必线性相关。

　　5、n+1个n维向量必线性相关。

　　6、如果向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1也线性无关。

　　7、如果向量组α1，α2，α3，α4线性无关，判断向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否线性无关。

　　8、如果向量β可以由向量组α1，α2，…，αn线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αn线性无关。

　　9、设向量组α1，α2，…，αn线性无关，β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果对于某个ki≠0，则用β替换αi后得到的向量组α1，…，α(i-1)，β，α(i+1)，…，αn也线性无关。

　　10、由非零向量组成的向量组α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关的充分必要条件是每一个αi(1〈i≤n)都不能用它前面的向量线性表出。

　　11、设α1，α2，…，αn线性无关，且(β1，β2，…，βn)=A(α1，α2，…，αn)，则β1，β2，…，βn线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。

　　12、秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。

　　13、任一n维向量组若是线性无关的，那么其所含向量数目不会超过n。

　　14、如果n维向量构成的向量组α1，α2，…，αn线性无关，那么任一n维向量β可由α1，α2，…，αn线性表出。

　　15、如果任意的n维向量都可以由α1，α2，…，αn线性表出，那么α1，α2，…，αn线性无关。

　　16、如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出，则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。

　　17、n个方程的n元线性方程组x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β对任何β都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。

　　18、如果向量组α1，α2，…，αn和向量组α1，α2，…，αn，β有相同的秩，则β可以由α1，α2，…，αn线性表出。

　　19、r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm)≤r(α1，α2，…，αn)+r(β1，β2，…，βm)。

　　20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。

　　21、如果m*n的矩阵A的秩为r，那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。

　　22、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，则这个矩阵不是满秩矩阵。

　　23、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，那么这个矩阵的秩最多是多少?

　　24、设η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组的一个基础解系，则与η1，η2，…，ηt等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系。

　　25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r(r〈n)，则方程组的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。

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