数学竞赛训练题四答案
一、选择题
1.设函数 如果 那么 的值等于( )
A.3 B.7 C.-3 D.-7
解:取 ,而当 ,所以 ,故选C.
2.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( )
A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆
解:把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题,容易的出答案D
3.给定数列{xn},x1=1,且xn+1= ,则 =( )
A,1 B.-1 C.2+ D.-2+ 解:xn+1= ,令xn=tanαn,∴xn+1=tan(αn+ ), ∴xn+6=xn, x1=1,x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1,……,∴有 。故选A。
4.已知 ,定义 ,则 ( )
A. B. C. D. 解:计算 可知 是最小正周期为6的函数。即得 ,所以 = ,故选C.
5.已知双曲线 的右焦点为F,右准线为 ,一直线交双曲线两支于P、Q两点,交 于R,则 ( )
A. B.
C. D. 解:分别做 由相似三角形的性质,得 ,又有双曲线的第二定义,得 故 平分 所以选C.
6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且 , 都是方程log x=logb(4x-4)的根,则△ABC( )
A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形
C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形
解:由log x=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=2sinA,因A+B+C=180°,所以3A+B=180°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又sinA≠0,所以sin2A= ,而sinA>0,∴sinA= 。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。
二、填空题
7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.
答案: 。 由对称性只考虑y≥0,因为x>0,∴只须求x-y的最小值,令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于y的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。
8.如果:(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}
(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a
(3)a是a, b, c, d中的最小数
那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.
答案:46个。abcd中恰有2个不同数字时,能组成C =6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时,能组成 =16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时,能组成A =24个不同数,所以符合要求的数共有6+16+24=46个。
9.设 则关于 的方程 的所有实数解之和为
答案:4解:令 变形为 可以发现函数 是R上的减函数。又因为 ,从而关于 的方程 的解分别为0、1、3,
10.若对|x|≤1的一切x,t+1>(t2-4)x恒成立,则t的取值范围是_______________.
答案: 。解:①若t2-4>0,即t<-2或t>2,则由 >x(|x|≤1)恒成立,得 , t+1>t2-4, t2-t-s<0解得 ,从而 11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 。 解:设直角三角形的三边为a,b, ,则有 =a+b+ , ,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0, (a-4)(b-4)= 8, a,b都是正整数, a=5时b=12;a=6时b=8,所以满足题意的三角形有2个。 12.对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=__________. 答案:1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1,由f(-2)=-2得,f(-1)=-2,又令x=1, y=-1可得f(1)=1,再令x=1,得f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以f(y+1)-f(y)=y+2,即y为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由f(1)=1可知对一切正整数y,f(y)>0,因此y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t,由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数t≤-4时,f(t)>0,因t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故f(t)>t。综上所述:满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。
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