-函 数
1.函数的基本概念
一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.
(1)求函数的定义域
例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数
求自变量取值范围.
解
-2 例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为[0，1]，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a>0). 解 由 若0 若a>时,函数关系不存在. (2)关于对应法则 若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面. 例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式，对所有实数x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数x，求f(x2-1). 分析 若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法. ①配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3 =(x2+1)2+3(x2+1)-1， ∴f(x)=x2+3x-1， ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1 =x4+x2-3. ②换元法 令 x2+1=t，则x2=t-1. 由f(x2+1)=x4+5x2+3有 f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1 ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1 =x4+x2-3. 例4 (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值. 解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)， f(x+1)=2x+1[a(x+1)2+b(x+1)+c] =2·2x[(ax2+bx+c)+2ax+a+b] =2f(x)+2·2x(2ax+a+b) 由f(x+1)-f(x)=2x·x2有 2x(ax2+bx+c)+2·2x[2ax+a+b]=2x·x2， 在上式中， 令x=0得 2a+2b+c=0;① 令x=1得 7a+3b+c=0;② 令x=2得 14a+4b+c=0.③ 由①，②，③解出 a=1，b=-4，c=6， ∴ a+b+c=3. (3)关于函数方程 这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程. 例5 对于一切实数x，y，函数满足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988). 解 ∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1. 例6 (第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数( ). (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C)不存在 (D)有无穷多个，但并非一切非零实数 (E)是一非零实数 解 f(x)+2f=3x.① 以换x得 f+2f(x)= ② 由①，②两式消去f得3f(x)=-3x， ∴f(x)= -x.③ 又由f(x)=f(-x)，将③代入得 -x=+x， 即 -2x=0，2-x2=0， ∴x=±.故应选(B). (4)求函数值 例7(1986年北京高一竞赛题) f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986， 求f[-1]. 解 设,则2t+1=, 即2t2+2t=55. ∴2t5+2t4-53t3-57t+54 =t3(2t2+2t)-53t3-57t+54 =2t3+2t2-2t2-57t+54 =55t-2t2-57t+54 =-2t2-2t+54=-1. ∴f()=(-1)1986=1.
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