2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(25)

　　(2) 比较系数法

　　例10 求满足条件的自然数a、x、y.

　　解 将等式两边平方得

　　∵x、y、a都是自然数.

　　∴只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.

　　∴x+y=a，xy=6.

　　由条件可知 x>y且x、y是自然数.

　　当x=6时，y=1，得a=7.

　　当x=3时，y=2，得a=5.

　　故x=6,y=1,a=7.

　　或x=3,y=2,a=5.

　　例11 化简

　　分析 被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的.

　　解 设

　　=,

　　两边平方得

　　13+2

　　=x+y+z+2

　　比较系数,得

　　①②③④

　　由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴y=5(x、y、z非负)，

　　∴=1，

　　∴原式=1+

　　(4)设参法

　　例12 (1986年数理化接力赛题)

　　设(a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是正数).求证:

　　=

　　证明 设

　　且a1=b1k,a2=b2k,…，an=bnk.

　　左边=

　　=

　　右边=

　　·

　　=

　　∴左边=右边

　　(5)公式法、代数变换及其他

　　例13 已知x=求x3+12x的值.

　　解 由公式(a-b)3=a3-b3-3ab(a-b)可得

　　·

　　=8-3

　　=8-12x.

　　∴x3+12x=8.

　　例14 设

　　求x4+y4+(x+y)4.

　　解 由条件知

　　∴x+y=5，xy=1.

　　∴原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4

　　=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4

　　=(25-2)2-2+54

　　=1152.

　　例15 (1978年罗马尼亚竞赛题)对于a∈R，确定的所有可能的值.

　　解 记y=. ①

　　先假定a≥0，这时y≥0，把①两边平方得

　　②

　　即 ③

　　再平方，整理后得

　　④

　　从而 ≥0.

　　由②知 y2<2a2+2-2=2.

　　再由⑤知 y2≤1，∴0≤y<1.

　　反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a，并且这时2a2+2-y2>0，故可由⑤逆推出②和①，因而在a≥0时，的值域为(0，1).

　　同样在a<0时，的值域为(-1，0)，综上的值域是(-1，1).

　　2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座汇总

　　2011年中考数学备考辅导：选择题精选汇总

　　名师解读南京2011年中考数学命题趋势