2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(24)

　　练习二十一

　　1. 填空题

　　(1) 设方程的两根为m，n(m>n)，则代数式的值是_______;

　　(2) 若r和s是方程x2-px+q=0的两非零根,则以r2+和为根的方程是__________;

　　(3) 已知方程x2-8x+15=0的两根可以写成a2+b2与a-b,其中a与b是方程x2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________.

　　2.选择题

　　(1)若p,q都是自然数,方程px2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p2+q的值等于( ).

　　(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996

　　(2)方程的较大根为r,的较小根为s,则r-s等于( ).

　　(A) (B)1985 (C) (D)

　　(3)x2+px+q2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x2-qx+p2=0的两个根必为( ).

　　(A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数

　　(4) 如果关于方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实根个数为

　　(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定

　　3.(1983年杭州竞赛)设a1≠0，方程a1x2+b2x+c1=0的两个根是1-a1和1+a1;a1x2+b1x+c2=0的两个根是和;a1x2+b1x+c1=0的两根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.

　　4.常数a是满足1≤a≤50的自然数.若关于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的两根都是自然数,试求a的值.

　　5.设x2、x2为正系数方程ax2+bx+c=0的两根，x1+x2=m，x1·x2=n2，且m，n.求证:

　　(1) 如果m

　　(2) 如果m>n，那么方程没有实数根.

　　6.求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足

　　7.(1987年全国初中竞赛题)当a，b为何值时，方程x2+(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实根?

　　8.(1985年苏州初中数学竞赛题)试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值.

　　9.(第20届全苏中学生数学竞赛题)方程x2+ax+1=b的根是自然数，证明a2+b2是合数.

　　10.(1972年加拿大试题)不用辅助工具解答：

　　(1) 证满足的根在和197.99494949…间;

　　(2) 同(1)证<1.41421356.

　　练习二十一

　　1.(1)

　　(2)

　　(3)3.

　　2.C B A.

　　3.

　　4.x=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数

　　即a=1，4，9，16，25，36，49.

　　5.略

　　6.3x2-7x+2=0.

　　7.因为方程有实根,所以判别式

　　8.设1986=4k+2(其中k是自然数).

　　令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b=2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.

　　10.由，可得x2-198x+1=0,其根

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