2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(22)

　　3.换元法

　　例5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

　　解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

　　=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

　　=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120

　　令 x2+5x=A, 代入上式,得

　　原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96

　　=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)

　　例6 证明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必为完全平方数

　　解 原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1

　　=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

　　=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1

　　=(a2+3a+1)2

　　∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1为完全平方数.

　　说明:这里未设新元,但在思想上把a2+3a看作一个新元素.

　　4.对称式的因式分解

　　在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.

　　例7分解因式x4+(x+y)4+y4

　　分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.

　　解 ∵x4+y4

　　=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2

　　=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.

　　∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4

　　=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2

　　=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]

　　=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,

　　例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).

　　此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.

　　因式定理 如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).

　　如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).

　　证明 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

　　若f(a)=0,则

　　f(x)=f(x)-f(a)

　　=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)

　　=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)

　　=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),

　　由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),

　　∴(x-a)|f(x),

　　对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.

　　现在我们用因式定理来解例8.

　　解 这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.

　　∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

　　=-(a-b)(b-c)(c-a).

　　例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).

　　分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(其中k为待定系数)，取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以

　　原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).

　　因式定理使用得更多的还是一元n次多项式的因式分解.

　　例10 (1985年武汉市初中数学竞赛题)证明：2x+3为多项式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.

　　证明 以 f(x)记多项式.

　　+15-

　　∴2x+3是f(x)的因式.

　　例11 分解因式x3-19x-30.

　　分析 这里常数项是30,如果多项式f(x)=x3-19x-30有x-a这种形式的因式,那么a一定是30的因数,这是因为f(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.

　　∵a|(a3-19a), ∴a|30

　　解 30的因数为±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.

　　∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(这里已有f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了，三次多项式只有三个一次因式，所以不必再计算了.)

　　∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),

　　∴x3的系数为1，∴k=1,

　　故 x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).

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