2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(14)

　　练习二十九

　　1. 6×6的方格盘，能否用一块大小为3格，形如 的弯角板与11块大小为3×1的矩形板，不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.

　　2. (第49届苏联基辅数学竞赛题)在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时，有一个黑格与一个红格重合，证明至少还有三个方格与不同颜色的方格重合.

　　3. 有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.

　　4. 如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗?为什么?

　　5. 设n=6(r-2)+3(r≥3)，求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有 r名能用同一种语言通话.

　　6. (1966年波兰数学竞赛题)大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.

　　7. (首届全国数学冬令营试题)用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或 的正三角形，它三个顶点是同色的.

　　练习二十九

　　1.将1、4行染红色、2、5行染黄色、3、6行染蓝色，然后就弯角板盖住板面的不同情况分类讨论.

　　2.设第一张纸上的黑格A与第二张纸上的红格A′重合.如果在第一张纸上A所在的列中，其余的黑格(奇数个)均与第二张纸的黑格重合，那么由第二张纸上这一列的黑格个数为偶数，知必有一黑格与第一张纸上的红格重合，即在这一列，第一张纸上有一方格B与第二张纸上不同颜色的方格B′重合.同理在A、B所在行上各有一个方格C、D，第二张纸上与它们重合的方格C′、D′的颜色分别与C、D不同.

　　3.把9名数学家用点A1，A2，…，A9表示.两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表示不同语种。两人不通话，就不连线.

　　(1)果任两点都有连线并涂有颜色，那么必有一点如A1，以其为一端点的8条线段中至少有两条同色，比如A1A2、A1A3.可见A1，A2，A3之间可用同一语言通话.②如情况①不发生，则至少有两点不连线，比如A1、A2.由题设任三点必有一条连线知，其余七点必与A1或A2有连线.这时七条线中，必有四条是从某一点如A1引出的.而这四条线中又必有二条同色，则问题得证.

　　4.结论不成立，如图所示(图中每条线旁都有一个数字，以表示不同语种).

　　5.类似于第3题证明.

　　6.用点A1、A2、…、A100表示客人，红、蓝的连线分别表示两人相识或不相识，因为由一个顶点引出的蓝色的线段最多有32条，所以其中至少有三点之间连红线.这三个点(设为A1、A2、A3)引出的蓝色线段最多为96条.去掉所有这些蓝色的线段(连同每条线段上的一个端点AI，I≠1，2，3)，这样，在图中至少还剩下四个点，除A1、A2、A3外，设第四点为A4，这四个点中A1，A2，A3每一个点与其它的点都以红色的线段相连，于是客人A1、A2、A3、A4彼此两两相识.

　　7.先利用右图证明"若平面上有两个异色的点距离为2，地么必定可以找到符合题意的三角形".再找长为2端点异色的线段.以O(白色)为圆心，4为半径作圆.如圆内皆白点，问题已证.否则圆内有一黑点P，以OP为底作腰长为2的三角形OPR，则R至少与O、P中一点异色，这样的线段找到.

　　2011年中考数学备考辅导：选择题精选汇总

　　名师解读南京2011年中考数学命题趋势