2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(3)

　　练习二十答案

　　1.D.C.

　　2.(1)9及1. (2)9. (3)4.

　　(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.

　　3.不妨设x≤y≤z,则 ,故x≤3.又有 故x≥2.若x=2,则 ,故y≤6.又有 ,故y≥4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≤y≤4,y=3或4,z都不能是整数.

　　4.可仿例2解.

　　5.先求出 ,然后将方程变形为y=5+x-2 要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得

　　6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).

　　7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.

　　7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≥0及y为整数可得0≤y≤5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).

　　8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m>n-m>0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.

　　9.易知p≠q,不妨设p>q.令 =n,则m>n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.

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