2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(21)

竞赛讲座21

　　-应用题选讲

　　应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力.

　　列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，从中体现解应用题的技能和技巧.

　　1.合理选择未知元

　　例1 (1983年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用 小时，求A、B两地相距多少千米?

　　解法1 (选间接元)设坡路长x千米，则下坡需 依题意列方程：

　　解之，得x=3.

　　答：A、B两地相距9千米.

　　解法2(选直接元辅以间接元)设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米，则有如下方程组

　　解法3(选间接元)设下坡需x小时，上坡需y小时，依题意列方程组：

　　例2 (1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少?

　　解 本题若用直接元x列方程十分不易，可引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价(固定不变)的等式，可得：

　　M(1+0.01x)=0.92M[1+0.01(x+10)].

　　约去M，得

　　1+0.01x=0.92[1+01.1(x+10)].

　　解之，得 x=15.

　　例3 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合?

　　分析 选直接元，设两针在3点x分钟时重合，则这时分针旋转了x分格，时针旋转了(x-15)分析，因为分针旋转的速度是每分钟1分格，旋转x分格需要 分钟，时针旋转的速度是每分钟 分格，旋转(x-15)分格要 例4(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克?

　　解 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2，则切下的两块中分别含铜xq1千克和xq2千克，混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克，依题意，有：

　　2.多元方程和多元方程组

　　例5 (1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒?

　　解 设A、B、C三人原来各有x、y、z粒豆，可列出下表：

　　则有： 解得：x=104，y=56，z=32.

　　答：原来A有豆104粒，B有56粒，C有32粒.

　　例6(1985年宁波市初中数学竞赛题)某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验员检验的速度也一样快，A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品(所有成品指原有的和后来生产的成品)检验完毕后，再去检验另两个车间的所有成品，又用了三天检验完毕，在此五天内，B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品，问B组有几个检验员?

　　解 设每个车间原有成品x个，每天每个车间能生产y个成品;则一个车间生产两天的所有成品为(x+2y)个，一个车间生产5天的所有成品为(x+5y)个，由于A组的8个检验员每天的检验速度相等，可得

　　解得：x=4y

　　一个检验员一天的检验速度为：

　　又因为B组所检验的是5个车间，这5个车间生产5天的所有成品为5(x+5y)个，而这5(x+5y)个成立要B组的人检验5天，所以B组的人一天能检验(x+5y)个.

　　因为所有检验员的检验速度都相等，所以，(x+5y)个成品所需的检验员为：

　　(人).

　　答：B组有12个检验员.

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