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一、填空题
1.设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件
1)A、B、C 至少有一个发生
2)A、B、C 中恰有一个发生
3)A、B、C不多于一个发生
2.设 A、B为随机事件， ， ， 。则 =
3.若事件A和事件B相互独立, ， 则
4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为
5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为
6.设离散型随机变量 分布律为 则A=______________
7. 已知随机变量X的密度为 ,且 ,则 ________ ________
8. 设 ～ ,且 ,则 _________
9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为_________
10.若随机变量 在(1，6)上服从均匀分布，则方程x2+ x+1=0有实根的概率是
11.设 ， ，则
12.用( )的联合分布函数F(x,y)表示
13.用( )的联合分布函数F(x,y)表示
14.设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则(x,y)关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。
15.已知 ，则 =
16.设 ，且 与 相互独立，则
17.设 的概率密度为 ，则 =
18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为 =3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，则D(Y)=
19.设 ，则
20.设 是独立同分布的随机变量序列,且均值为 ,方差为 ,那么当 充分大时,近似有 ～ 或 ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的 ，都精确有 ～ 或 ～ .
21.设 是独立同分布的随机变量序列,且 ， 那么 依概率收敛于 .
22.设 是来自正态总体 的样本，令 则当 时 ～ 。
23.设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6，9，8，7，5，9，6)，则样本均值= ，样本方差=
24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体 的一个简单随机样本，则样本均值 服从
二、选择题
1. 设A,B为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是
(A)P (A+B) = P (A); (B) (C) (D) 2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 为
(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”;(B)“甲、乙两种产品均畅销”
(C)“甲种产品滞销”; (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是
(A)1/5 (B)2/5 (C)3/5 (D)4/5
4. 对于事件A，B，下列命题正确的是
(A)若A，B互不相容，则 与 也互不相容。
(B)若A，B相容，那么 与 也相容。
(C)若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。
(D)若A，B相互独立，那么 与 也相互独立。
5. 若 ，那么下列命题中正确的是
(A) (B) (C) (D) 6. 设 ～ ,那么当 增大时，
A)增大 B)减少 C)不变 D)增减不定。
7.设X的密度函数为 ，分布函数为 ，且 。那么对任意给定的a都有
A) B) C) D) 8.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
A) B) C) D) ，其中 9. 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是
A)F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x);
C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).
10.已知随机变量X的密度函数f(x)= ( >0,A为常数)，则概率P{ }(a>0)的值
A)与a无关，随 的增大而增大 B)与a无关，随 的增大而减小
C)与 无关，随a的增大而增大 D)与 无关，随a的增大而减小
11. , 独立,且分布率为 ,那么下列结论正确的是
A) B) C) D)以上都不正确
12.设离散型随机变量 的联合分布律为
且 相互独立，则
A) B) C) D) 13.若 ～ ， ～ 那么 的联合分布为
A) 二维正态，且 B)二维正态，且 不定
C) 未必是二维正态 D)以上都不对
14.设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是
A)FZ(z)= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ(z)= max { |FX(x)|,|FY(y)|}
C) FZ(z)= FX(x)·FY(y) D)都不是
15.下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。
A)f(x,y)= B) g(x,y)= C) (x,y)=
D) h(x,y)= 16.掷一颗均匀的骰子 次，那么出现“一点”次数的均值为
A) 50 B) 100 C)120 D) 150
17. 设 相互独立同服从参数 的泊松分布，令 ，则
A)1. B)9. C)10. D)6.
18.对于任意两个随机变量 和 ，若 ，则
A) B) C) 和 独立 D) 和 不独立
19.设 ，且 ，则 =
A)1， B)2， C)3， D)0
20. 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则 是X和Y的
A)不相关的充分条件，但不是必要条件; B)独立的必要条件，但不是充分条件;
C)不相关的充分必要条件; D)独立的充分必要条件
21.设 ～ 其中 已知， 未知， 样本，则下列选项中不是统计量的是
A) B) C) D) 22.设 ～ 是来自 的样本，那么下列选项中不正确的是
A)当 充分大时，近似有 ～
B)
C)
D) 23.若 ～ 那么 ～
A) B) C) D) 24.设 为来自正态总体 简单随机样本， 是样本均值，记 ， ， ，
，则服从自由度为 的 分布的随机变量是
A) B) C) D) 25.设X1,X2,…Xn，Xn+1, …,Xn+m是来自正态总体 的容量为n+m的样本，则统计量 服从的分布是
A) B) C) D)
三、解答题
1.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。
1) 3本一套放在一起。
2)两套各自放在一起。
3)两套中至少有一套放在一起。
3.调查某单位得知。购买空调的占15%，购买电脑占12%，购买DVD的占20%;其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5%，三种电器都购买占2%。求下列事件的概率。
1)至少购买一种电器的;
2)至多购买一种电器的;
3)三种电器都没购买的;
4.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。
5. 一箱产品，A，B两厂生产分别个占60%，40%，其次品率分别为1%，2%。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大?
6. 有标号1∼n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。
7.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。(1)放回 (2)不放回
8.设随机变量X的密度函数为 ,
求 (1)系数A,
(2) (3) 分布函数 。
9.对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[ ]内。求体积的密度函数。
10.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。
11.公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高 ,问车门的高度应如何确定?
12. 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(- ).
求：(1)系数A与B;
(2)X落在(-1，1)内的概率;
(3)X的分布密度。
13.把一枚均匀的硬币连抛三次，以 表示出现正面的次数， 表示正、反两面次数差的绝对值 ，求 的联合分布律与边缘分布。
14.设二维连续型随机变量 的联合分布函数为
求(1) 的值， (2) 的联合密度， (3) 判断 的独立性。
15.设连续型随机变量(X，Y)的密度函数为f(x,y)= ,
求 (1)系数A;(2)落在区域D：{ 的概率。
16. 设 的联合密度为 ，
(1)求系数A，(2)求 的联合分布函数。
17.上题条件下：(1)求关于 及 的边缘密度。 (2) 与 是否相互独立?
18.在第16)题条件下，求 和 。
19.盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数 的数学期望 和方差 。
20. 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?
21. 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望(准确到秒)。
22.设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负?
23.一袋中有 张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒， ，从中有放回地抽取出 张来，以 表示所得号码之和，求 。
24.设二维连续型随机变量(X ，Y)的联合概率密度为：f (x ,y)= 求：① 常数k， ② 及 .
25.设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为 ，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在 到 之间的概率。
26.一系统是由 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为 ，且必须至少由 的部件正常工作，系统才能正常工作，问 至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 ?
27.甲乙两电影院在竞争 名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于 。
28.设总体 服从正态分布，又设 与 分别为样本均值和样本方差，又设 ，且 与 相互独立，求统计量 的分布。
29.在天平上重复称量一重为 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 ，若以 表示 次称量结果的算术平均值，为使 成立，求 的最小值应不小于的自然数?
30.证明题 设A，B是两个事件，满足 ，证明事件A，B相互独立。
31.证明题设随即变量 的参数为2的指数分布，证明 在区间(0，1)上服从均匀分布。
参考答案：
一、填空题
1. (1) (2) (3) 或 2. 0.7， 3.3/7 ， 4.4/7! = 1/1260 ， 5.0.75， 6. 1/5，
7. ， 1/2， 8.0.2， 9.2/3， 10.4/5， 11. ，
12.F(b,c)-F(a,c)， 13.F (a,b)， 14.1/2， 15.1.16， 16.7.4，
17.1/2， 18.46， 19.85
20. ; 21. ， 22，1/8 ， 23. =7，S2=2 ， 24. ，
二、选择题
1.A 2.D 3.B 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10 .C
11.C 12.A 13.C 14.C 1 5.B 16.B 17.C 18.B 19.A 20 .C
21.C 22.B 23.A 24.B 25.C
三、解答题
1. 8/15 ;
2. (1)1/15， (2)1/210， (3)2/21;
3. (1) 0.28, (2)0.83, (3) 0.72;
4. 0.92;
5. 取出产品是B厂生产的可能性大。
6. m/(m+k);
7.(1) 1234
10/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)
(2)
8. (1)A=1/2 ， (2) ， (3)
9. ，
10.
11. 提示： ，利用后式求得 (查表 )
12. 1A=1/2，B= ; 2 1/2; 3 f (x)=1/[ (1+x2)]
123
13/83/83/4
31/81/81/4
1/83/83/81/81
13.
14. (1) ;(2) ;(3) 独立 ;
15. (1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8)
16. (1)
(2)
17. (1) ; (2)不独立
18. ;
19. 20. 丙组
21. 10分25秒
22. 平均需赛6场
23. ;
24. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144
25. 0.9475
26. 0.9842
27. 537
28.
29. 16
30. 提示：利用条件概率可证得。
31. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为 ，
利用 的反函数 即可证得。
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