2016中考数学备考专项练习(6)：直角三角函数

直角三角形

　　一、选择题

　　1. (2014•山东枣庄，第3题3分)如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为( )

　　A. 17° B. 34° C. 56° D. 124°

　　考点： 平行线的性质;直角三角形的性质

　　分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

　　解答： 解：∵AB∥CD，

　　∴∠DCE=∠A=34°，

　　∵∠DEC=90°，

　　∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°.

　　故选C.

　　点评： 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.

　　2. 1.(2014•湖南张家界，第7题，3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点.若BD=2，则AC的长是(　　)

　　A. 4 B. 4 C. 8 D. 8

　　考点： 线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.

　　分析： 求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可.

　　解答： 解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，

　　∴∠A=30°.

　　∵DE垂直平分斜边AC，

　　∴AD=CD，

　　∴∠A=∠ACD=30°，

　　∴∠DCB=60°﹣30°=30°，

　　∵BD=2，

　　∴CD=AD=4，

　　∴AB=2+4+2=6，

　　在△BCD中，由勾股定理得：CB=2 ，

　　在△ABC中，由勾股定理得：AC= =4 ，

　　故选：B.

　　点评： 本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中.

　　3. (2014•十堰9.(3分))如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB.若DG=3，EC=1，则DE的长为(　　)

　　A. 2 B. C. 2 D.

　　考点： 勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

　　分析： 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解.

　　解答： 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，

　　∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB

　　∵点G为AF的中点，

　　∴DG=AG，

　　∴∠GAD=∠GDA，

　　∴∠CGD=2∠CAD，

　　∵∠ACD=2∠ACB，

　　∴∠ACD=∠CGD，

　　∴CD=DG=3，

　　在Rt△CED中，DE= =2 .

　　故选：C.

　　点评： 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3.

　　4. (2014•娄底8.(3分))下列命题中，错误的是(　　)

　　A. 平行四边形的对角线互相平分

　　B. 菱形的对角线互相垂直平分

　　C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分

　　D. 角平分线上的点到角两边的距离相等

　　考点： 命题与定理.

　　分析： 根据平行四边形的性质对A进行判断;根据菱形的性质对B进行判断;根据矩形的性质对C进行判断;根据角平分线的性质对D进行判断.

　　解答： 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确;

　　B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确;

　　C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误;

　　D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确.

　　故选C.

　　点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.

　　5. (2014•山东淄博,第10题4分)如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为(　　)

　　A. 1 B. C. D. 2

　　考点： 勾股定理;线段垂直平分线的性质;矩形的性质.菁优网

　　分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC.求出EC后根据勾股定理即可求解.

　　解答： 解：如图，连接EC.

　　∵FC垂直平分BE，

　　∴BC=EC(线段垂直平分线的性质)

　　又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，

　　故EC=2

　　利用勾股定理可得AB=CD= = .

　　故选：C.

　　点评： 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解.本题难度中等.

　　6. ( 2014•安徽省,第8题4分)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(　　)

　　A. B. C. 4 D. 5

　　考点： 翻折变换(折叠问题).

　　分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.

　　解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，

　　∵D是BC的中点，

　　∴BD=3，

　　在Rt△ABC中，x2+32=(9﹣x)2，

　　解得x=4.

　　故线段BN的长为4.

　　故选：C.

　　点评： 考查了翻折变换(折叠问题)，涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大.

　　7. ( 2014•广西贺州，第11题3分)如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE= ，CE=1.则弧BD的长是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考点： 垂径定理;勾股定理;勾股定理的逆定理;弧长的计算.

　　分析： 连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故 = ，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论.

　　解答： 解：连接OC，

　　∵△ACE中，AC=2，AE= ，CE=1，

　　∴AE2+CE2=AC2，

　　∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，

　　∵sinA= =，

　　∴∠A=30°，

　　∴∠COE=60°，

　　∴ =sin∠COE，即 = ，解得OC= ，

　　∵AE⊥CD，

　　∴ = ，

　　∴ = = = .

　　故选B.

　　点评： 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中.

　　8.(2014•滨州，第7题3分)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )

　　A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1， ，3

　　考点： 勾股定理的逆定理

　　分析： 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

　　解答： 解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误;

　　B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确;

　　C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误;

　　D、12+( )2=3≠32，不可以构成直角三角形，故本选项错误.

　　故选B.

　　点评： 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形.

　　9.(2014年山东泰安，第8题3分)如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE= CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F.若AB=6，则BF的长为(　　)

　　A.6 B. 7 C. 8 D. 10

　　分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD= AB=3，则结合已知条件CE= CD可以求得ED=4.然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8.

　　解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD= AB=3.又CE= CD，

　　∴CE=1，∴ED=CE+CD=4.又∵BF∥DE，点D是AB的中点，

　　∴ED是△AFD的中位线，∴BF=2ED=8.故选：C.

　　点评： 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线.根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点.

　　10.(2014年山东泰安，第12题3分)如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为(　　)

　　A. cm B. 2 cm C. 2 cm D. 3cm

　　分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可.

　　解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，

　　∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，

　　∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD= ∠ABC=30°，

　　∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，

　　∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE= ×180°=90°，

　　在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷ = cm，

　　在Rt△ADE中，DE=BD•tan30°= × = cm.故选A.

　　点评： 本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键.

　　11. (2014•海南,第6题3分)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　)

　　A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°

　　考点： 直角三角形的性质.

　　分析： 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

　　解答： 解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，

　　∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°.

　　故选D.

　　点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.

　　12.(2014•随州，第7题3分)如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为(　　)

　　A. 100米 B. 50 米 C. 米 D. 50米

　　考点： 解直角三角形的应用

　　分析： 过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案.

　　解答： 解：过B作BM⊥AD，

　　∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，

　　∴∠ABC=30°，

　　∴AC=CB=100米，

　　∵BM⊥AD，

　　∴∠BMC=90°，

　　∴∠CBM=30°，

　　∴CM= BC=50米，

　　∴BD= =50 米，

　　故选：B.

　　点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半.

　　13.(2014•黔南州，第11题4分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于(　　)

　　A. cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm

　　考点： 含30度角的直角三角形.

　　分析： 根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的记录相等得出ED=CE，即可得出CE的值.

　　解答： 解：∵ED⊥AB，∠A=30°，

　　∴AE=2ED，

　　∵AE=6cm，

　　∴ED=3cm，

　　∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，

　　∴ED=CE，

　　∴CE=3cm;

　　故选C.

　　点评： 此题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE.

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