2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(15)

竞赛讲座15

　　-函数方程

　　一、相关知识

　　函数方程 的解是

　　函数方程 的解是

　　二、函数方程的题型

　　许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战

　　意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。

　　1、确定函数的形式

　　尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解(如：方程 无解)。

　　2、确定函数的性质

　　3、确定函数值

　　三、求函数的解析式

　　1、换元法

　　例题1、设函数 满足条件 ，求 。

　　例题2、设函数 定义于实数集 ，且 满足条件 ，求 。

　　：函数 在 处没有定义，但对所有非零实数 有： ，求 。

　　答案： ：求满足条件 的 。

　　2、赋值法

　　例题1、设函数 定义于实数集 上，且 ，若对于任意实数 、 ，都有：

　　，求 。

　　例题2、设函数 定义于自然数集 上，且 ，若对于任意自然数 、 ，都有： ，求 。

　　四、究函数的性质

　　例题、设函数 定义于 上，且函数 不恒为零， ，若对于任意实数 、 ，恒有： 。

　　① 求证： ② 求证： ③ 求证：

　　：若对常数 和任意 ，等式 都成立，求证：函数 是周期函数。

　　：设函数 定义于实数集 上，函数 不恒为零，且对于任意实数 、 ，都有： ，求证： 。

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