2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(12)

竞赛讲座12

　　-覆盖

　　一个半径为1的单位圆显然是可以盖住一个半径为 的圆的.反过来则不然，一个半径为 的圆无法盖住单位圆.那么两个半径为 的圆能否盖住呢?不妨动手实验一下，不行.为什么不行?需几个这样的小圆方能盖住大圆?……，这里我们讨论的就是覆盖问题，它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题.

　　定义 设G和F是两个平面图形.如果图形F或由图形F经过有限次的平移、旋转、对称等变换扣得到的大小形状不变的图形F′上的每一点都在图形G上.我们就说图形G覆盖图形F;反之，如果图形F或F′上至少存在一点不在G上，我们就说图形G不能覆盖图形F.

　　关于图形覆盖，下述性质是十分明显的：

　　(1) 图形G覆盖自身;

　　(2) 图形G覆盖图形E，图形E覆盖图形F，则图形G覆盖图形F.

　　1.最简单情形――用一个圆覆盖一个图形.

　　首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到：

　　定理1 如果能在图形F所在平面上找到一点O，使得图形F中的每一点与O的距离都不大于定长r，则F可被一半径为r的圆所覆盖.

　　定理2 对于二定点A、B及定角α若图形F中的每点都在AB同侧，且对A、B视角不小于α，则图形F被以AB为弦，对AB视角等于α的弓形G所覆盖.

　　在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛.

　　例1 求证：(1)周长为2l的平行四边形能够被半径为 的圆面所覆盖.

　　(2)桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为 的圆纸片所覆盖.

　　分析 (1)关键在于圆心位置，考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合.

　　(2)"曲"化"直".对比(1)，应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心.

　　证明 (1)如图45-1，设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC、BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上，则

　　∠1≤∠2≤∠3，

　　有OP≤OA.

　　又AC

　　故OA< .

　　因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心;半径为 的圆所覆盖，命题得证.

　　(2)如图45-2,在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l.又设RQ中点为G，M为线圈耻任意一点，连MR、MQ，则

　　因此，以G为圆心， 长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈.

　　例2△ABC的最大边长是a，则这个三角形可被一半径为 的圆所覆盖.

　　分析 a为最大边，所对角A满足60°≤A<180°.

　　证明 不妨设BC=a，以BC为弦，在A点所在一侧作含60°角的弓形弧(图45-3).因60°≤A≤180°，故根据定理2，△ABC可被该弓形所覆盖.

　　由正弦定理，弓形相应半径r= ，所以△ABC可被半径为 的圆所覆

　　盖.

　　显然覆盖△ABC的圆有无穷多个，那么半径为 的圆是否是最小的覆盖圆呢?事实并不

　　尽然.

　　例3 △ABC的最大边BC等于a，试求出覆盖△ABC的最小圆.

　　解 分三种情形进行讨论：

　　(1) ∠A为钝角，以BC为直径作圆即可覆盖△ABC.

　　(2) ∠A是直角，同样以BC为直径作圆即可覆盖△ABC;

　　(3)∠A是锐角.假若⊙O覆盖△ABC，我们可在⊙O内平移△ABC，使一个顶点B落到圆周上，再经过适当旋转，使另一个顶点落在圆周上，此时第三个顶点A在⊙O内或其圆周上，设BC所对圆周角为α，那么∠BAC≥α，设⊙O直径d，△ABC外接圆直径d0，那么

　　所以对于锐角三角形ABC，最小覆盖圆是它的外接圆.

　　今后我们称覆盖图形F的圆中最小的一个为F的最小覆盖圆.最小覆盖圆的半径叫做图形F的覆盖半径.

　　综合例2、例3，即知△ABC中，若a为最大边，则△ABC的覆盖半径r满足

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