竞赛讲座09
-圆
基础知识
如果没有圆,平面几何将黯然失色.
圆是一种特殊的几何图形,应当掌握圆的基本性质,垂线定理,直线与圆的位置关系,和圆有关的角,切线长定理,圆幂定理,圆和圆的位置关系,多边形与圆的位置关系.
圆的几何问题不是独立的,它与直线形结合起来,将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题,“三角形的心”,“几何著名的几何定理”,“共圆、共线、共点”,“直线形” 将构成圆的综合问题的基础.
本部分着重研究下面几个问题:
1.角的相等及其和、差、倍、分;
2.线段的相等及其和、差、倍、分;
3.二直线的平行、垂直;
4.线段的比例式或等积式;
5.直线与圆相切;
6.竞赛数学中几何命题的等价性.
命题分析
例1.已知 为平面上两个半径不等的⊙ 和⊙ 的一个交点,两圆的外公切线分别为 , 、 分别为 、 的中点,求证: .
例2.证明:唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形.
例3.延长 至 ,以 为直径作半圆,圆心为 , 是半圆上一点, 为锐角. 在线段 上, 在半圆上, ∥ ,且 , ∥ .求证: .
例4.求证:若一个圆外切四边形有两条对边相等,则圆心到另外两边的距离相等.
例5.设 是△ 中最小的内角,点 和 将这个三角形的外接圆分成两段弧, 是落在不含 的那段弧上且不等于 与 的一个点,线段 和 的垂直平分线分别交线段 于 和 ,直线 和 相交于 .证明: .
例6.菱形 的内切圆 与各边分别切于 ,在 与 上分别作⊙ 切线交 于 ,交 于 ,交 于 ,交 于 ,求证: ∥ .
例7.⊙ 和⊙ 与△ 的三边所在直线都相切, 为切点,并且 的延长线交于点 .求证:直线 与 垂直.
例8.在圆中,两条弦 相交于 点, 为弦 上严格在 、 之间的点.过 的圆在 点的切线分别交直线 、 于 .已知 ,求 (用 表示).
例9.设点 和 是△ 的边 上的两点,使得 .又设 和 分别是△ 、△ 的内切圆与 的切点.求证: .
例10.设△ 满足 , ,过 作△ 外接圆 的切线,交直线 于 ,设 关于直线 的对称点为 ,由 到 所作垂线的垂足为 , 的中点为 , 交 于 点,证明直线 为△ 外接圆的切线.
例11.两个圆 和 被包含在圆 内,且分别现圆 相切于两个不同的点 和 . 经过 的圆心.经过 和 的两个交点的直线与 相交于点 和 ,直线 和直线 分别与 相交于点 和 .求证: 与 相切.
例12.已知两个半径不相等的⊙ 和⊙ 相交于 、 两点,且⊙ 、⊙ 分别与⊙ 内切于 、 两点.求证: 的充要条件是 、 、 三点共线.
例13.在凸四边形 中, 与 不平行,⊙ 过 、 且与边 相切于点 ,⊙ 过 、 且与边 相切于点 .⊙ 和⊙ 相交于 、 ,求证: 平分线段 的充要条件是 ∥ .
例14.设凸四边形 的两条对角线 与 互相垂直,且两对边 与 不平行.点 为线段 与 的垂直平分线的交点,且在四边形的内部.求证: 、 、 、 四点共圆的充要条件为 .
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