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2011年中招考试:《初中数学》竞赛讲座(7)

来源:考试吧(Exam8.com) 2011-2-23 11:11:11 要考试,上考试吧! 万题库
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竞赛讲座07

  --面积问题和面积方法

  基础知识

  1.面积公式

  由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形,故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用.

  设△ , 分别为角 的对边, 为 的高, 、 分别为△ 外接圆、内切圆的半径, .则△ 的面积有如下公式:

  (1) ;

  (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 2.面积定理

  (1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和;

  (2)两个全等形的面积相等;

  (3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等;

  (4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比;

  (5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方;

  (6)共边比例定理:若△ 和△ 的公共边 所在直线与直线 交于 ,则 ;

  (7)共角比例定理:在△ 和△ 中,若 或 ,则 .

  3.张角定理:如图,由 点出发的三条射线 ,设 , , ,则 三点共线的充要条件是:

  .

  例题分析

  例1.梯形 的对角线 相交于 ,且 , ,求 例2.在凸五边形 中,设 ,求此五边形的面积.

  例3. 是△ 内一点,连结 并延长与 分别交于 ,△ 、△ 、△ 的面积分别为40,30,35,求△ 的面积.

  例4. 分别是△ 的边 和 上的点,且 ,求△ 的面积的最大值.

  例5.过△ 内一点引三边的平行线 ∥ , ∥ , ∥ ,点 都在△ 的边上, 表示六边形 的面积, 表示

  △ 的面积.求证: .

  例6.在直角△ 中, 是斜边 上的高,过△ 的内心与△ 的内心的直线分别交边 和 于 和 ,△ 和△ 的面积分别记为 和 .求证: .

  例7.锐角三角形 中,角 等分线与三角形的外接圆交于一点 ,点 、 与此类似,直线 与 、 两角的外角平分线将于一点 ,点 、 与此类似.求证:

  (1)三角形 的面积是六边形 的面积的二倍;

  (2)三角形 的面积至少是三角形 的四倍.

  例8.在△ 中, 将其周长三等分,且 在边 上,求证: .

  例9.在锐角△ 的边 边上有两点 、 ,满足 ,作 , ( 是垂足),延长 交△ 的外接圆于点 ,证明四边形 与△ 的面积相等.

  三.面积的等积变换

  等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一,它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证(解)题.

  例10.凸六边形 内接于⊙ ,且 , ,求此六边形的面积.

  例11.已知 的三边 ,现在 上取 ,在 延长线上截取 ,在 上截取 ,求证: .

  例12. 在 内,且 ∽ ,求征: 例13.在 的三边 上分别取点 ,使 , ,连 相交得三角形 ,已知三角形 的面积为13,求三角形 的面积.

  例14. 为圆内接四边形 的 边的中点, 于 , 于 , 于 ,求证: 平分 .

  例15.已知边长为 的 ,过其内心 任作一直线分别交 于 点,求证: .

  例16.正△ 正△ , , , , ,

  , .求证: .

  例17.在正 内任取一点 ,设 点关于三边 的对称点分别为 ,则 相交于一点 .

  例18.已知 是正六边形 的两条对角线,点 分别内分 ,且使 ,如果 三点共线,试求 的值.

  例19.设在凸四边形 中,直线 以 为直径的圆相切,求证:当且仅当 ∥ 时,直线 与以 为直径的圆相切.

  训练题

  1.设 的面积为10 , 分别是 边上的点,且 若 ,求 的面积.

  2.过 内一点作三条平行于三边的直线,这三条直线将 分成六部份,其中,三部份为三角形,其面积为 ,求三角形 的面积.

  3.在 的三边 上分别取不与端点重合的三点 ,求证: , 中至少有一个的面积不大于 的面积的 .

  4.锐角 的顶角 的平分线交 边于 ,又交三角形的外接圆于 ,过 作 和 边的垂线 和 ,垂足是 ,求证:四边形 的面积等于 的 面积.

  5.在等腰直角三角形 的斜边 上取一点 ,使 ,作 交 于 ,求证: .

  6.三条直线 互相平行, 在 的两侧,且 间的距离为 , 间的距离为1,若正 的三个顶点分别在 上,求正 的边长.

  7.已知 及其内任一点 ,直线 分别交对边于 ( ),证明:在 这三个值中,至少有一个不大于2,并且至少有一个不小于2.

  8.点 和 分别在 的边 和 上,点 和 将线段 分为三等分,直线 和 分别与边 相交于点 和 ,证明: .

  9.已知P是 内一点,延长 分别交对边于 ,其中 , ,且 ,求 之值.

  10.过点P作四条射线与直线 分别交于 和 ,求证:

  .

  11.四边形 的两对对边的延长线分别交 ,过 作直线与对角线 的延长线分别 ,求证: .

  12. 为 的重心,过 作直线交 于 ,求证: .

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文章责编:魏超杰