2011计算机等考二级公共基础知识讲义：第1章(6)

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　　1.6 树与二叉树(学吧学吧独家稿件)

　　1、树的基本概念

　　树是一种简单的非线性结构。在树这种数据结构中，所有数据元素之间的关系具有明显的层次特性。

　　在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点。没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。

　　在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最大的度称为树的度。树的最大层次称为树的深度。

　　2、二叉树及其基本性质

　　(1)什么是二叉树

　　二叉树是一种很有用的非线性结构，它具有以下两个特点：1)非空二叉树只有一个根结点;2)每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。

　　*：根据二叉树的概念可知，二叉树的度可以为0(叶结点)、1(只有一棵子树)或2(有2棵子树)。

　　(2)二叉树的基本性质(学吧学吧独家稿件)

　　性质1 在二叉树的第k层上，最多有2^k-1(k≥1)个结点。

　　性质2 深度为m的二叉树最多有个2^m-1个结点。

　　性质3 在任意一棵二叉树中，度数为0的结点(即叶子结点)总比度为2的结点多一个。

　　性质4 具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log₂n]+1，其中[log₂n]表示取log₂n的整数部分。

　　3、满二叉树与完全二叉树

　　满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。

　　完全二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值;在最后一层上只缺少右边的若干结点。

　　*：根据完全二叉树的定义可得出：度为1的结点的个数为0或1。

　　下图a表示的是满二叉树，下图b表示的是完全二叉树：

　　完全二叉树还具有如下两个特性：

　　性质5 具有n个结点的完全二叉树深度为[log₂n]+1。

　　性质6 设完全二叉树共有n个结点，如果从根结点开始，按层序(每一层从左到右)用自然数1，2，…，n给结点进行编号，则对于编号为k(k=1，2，…，n)的结点有以下结论：

　　①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点;若k>1，则该结点的父结点的编号为INT(k/2)。

　　②若2k≤n，则编号为k的左子结点编号为2k;否则该结点无左子结点(显然也没有右子结点)。

　　③若2k+1≤n，则编号为k的右子结点编号为2k+1;否则该结点无右子结点。

　　4、二叉树的存储结构

　　在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构。

　　与线性链表类似，用于存储二叉树中各元素的存储结点也由两部分组成：数据域和指针域。但在二叉树中，由于每一个元素可以有两个后件(即两个子结点)，因此，用于存储二叉树的存储结点的指针域有两个：一个用于指向该结点的左子结点的存储地址，称为左指针域;另一个用于指向该结点的右子结点的存储地址，称为右指针域。

　　*：一般二叉树通常采用链式存储结构，对于满二叉树与完全二叉树来说，可以按层序进行顺序存储[注释1] 。

　　5、二叉树的遍历(学吧学吧独家稿件)

　　二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树中的所有结点。二叉树的遍历可以分为以下三种：

　　(1)前序遍历(DLR)：若二叉树为空，则结束返回。否则：首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树;并且，在遍历左右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

　　(2)中序遍历(LDR)：若二叉树为空，则结束返回。否则：首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树;并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。

　　(3)后序遍历(LRD)：若二叉树为空，则结束返回。否则：首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点，并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。

　　注释1：这样，不仅节省了存储空间，又能方便地确定每一个结点的父结点与左右子结点的位置，但顺序存储结构对于一般的二叉树不适用。

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